Indoground.id. Pertidaksamaan eksponen adalah salah satu topik penting dalam matematika yang sering muncul dalam ujian dan tes. Dalam pertidaksamaan eksponen, kita harus menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan yang melibatkan eksponen dengan angka yang tidak sama. Maka dari itu, dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal pertidaksamaan eksponen dan cara menyelesaikannya.
Pertama-tama, mari kita bahas pengertian pertidaksamaan eksponen. Pertidaksamaan eksponen adalah persamaan atau pertidaksamaan yang melibatkan eksponen dengan angka yang tidak sama. Misalnya, 2^x < 3^x-1, 4^x > 5^x-2, dan sebagainya.
Perlu diperhatikan simbol ^ berarti pangkat. 3^(x-1) = 3(x-1).
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita harus memahami beberapa aturan dasar tentang eksponen. Aturan-aturan ini meliputi:
- hukum perkalian eksponen: a^m × a^n = a^(m+n)
- hukum pembagian eksponen: a^m ÷ a^n = a^(m-n)
- hukum pangkat eksponen: (a^m)^n = a^(m×n)
Setelah memahami aturan-aturan dasar tersebut, kita bisa menggunakan teknik-teknik berikut untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen:
- Mengubah kedua sisi pertidaksamaan ke dalam bentuk yang sama, misalnya ke dalam bentuk pangkat yang sama.
- Menggunakan logaritma untuk mengubah pertidaksamaan eksponen menjadi persamaan logaritma.
- Menerapkan aturan-aturan logaritma untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang dihasilkan.
- Mengubah kembali persamaan logaritma ke dalam bentuk pertidaksamaan eksponen.
Berikut ini adalah contoh soal pertidaksamaan eksponen beserta cara menyelesaikannya:
Contoh Soal 1
Contoh Soal 1: Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan 2^x < 5^x-3
Solusi:
Kita bisa mengubah kedua sisi pertidaksamaan ke dalam bentuk pangkat yang sama. Untuk itu, kita bisa menggunakan aturan dasar eksponen sebagai berikut:
2^x = (2^3)^(x/3) = 8^(x/3)
5^x-3 = (5^3)^(x/3-1) = 125^(x/3-1)
Maka, pertidaksamaan 2^x < 5^x-3 dapat dituliskan sebagai berikut:
8^(x/3) < 125^(x/3-1)
Kita dapat menggunakan logaritma natural (ln) pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut, sehingga didapat:
ln 8^(x/3) < ln 125^(x/3-1)
Kita dapat menerapkan aturan pangkat logaritma, sehingga:
(x/3) ln 8 < (x/3-1) ln 125
Selanjutnya, kita bisa menyederhanakan persamaan tersebut:
ln 8 < (ln 125)x/3 – (ln 125)/3
ln 8 + (ln 125)/3 < (ln 125)x/3
x/3 > (ln 8 + (ln 125)/3) / ln 125
x > 3(ln 8 + (ln 125)/3) / ln 125
x > 2,215
Jadi, semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2^x < 5^x-3 adalah x > 2,215.
Contoh Soal 2
Contoh Soal 2: Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^(2x+1) > 2^(3x)
Solusi:
Pertama, kita ubah kedua sisi pertidaksamaan ke dalam bentuk pangkat yang sama. Kita bisa mengubah 3^(2x+1) menjadi 3^2x × 3^1, dan 2^(3x) menjadi (2^3)^x, sehingga didapat:
3^2x × 3^1 > (2^3)^x
9^x × 3 > 8^x
Selanjutnya, kita gunakan aturan logaritma untuk mengubah pertidaksamaan eksponen menjadi persamaan logaritma. Kita gunakan logaritma natural (ln) pada kedua sisi, sehingga didapat:
ln (9^x × 3) > ln (8^x)
Kita bisa menggunakan aturan logaritma, sehingga:
x ln 9 + ln 3 > 3x ln 2
Kita bisa menyederhanakan persamaan tersebut:
x ln 9 – 3x ln 2 > -ln 3
x (ln 9 – 3 ln 2) > -ln 3
x > -ln 3 / (ln 9 – 3 ln 2)
x > 0,463
Jadi, semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^(2x+1) > 2^(3x) adalah x > 0,463.
Itulah cara menyelesaikan contoh soal pertidaksamaan eksponen. Dengan memahami aturan dasar eksponen dan logaritma, serta menerapkan teknik-teknik yang tepat, kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan eksponen dengan mudah. Pastikan juga untuk berlatih dengan melakukan contoh soal pertidaksamaan eksponen secara mandiri agar semakin terbiasa dan mahir dalam menyelesaikan soal tersebut.
